2024年广西南宁市广西大学附属中学中考6月数学收网考试卷-云顶国际集团

2024年广西大学附中中考数学三模试卷一、选择题（车大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）1．（3分）下列各数中，最小的数是（　　）a．﹣2 b．0 c． d．22．（3分）下列几何体中，三个视图完全相同的是（　　）a． b． c． d．3．（3分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（　　）a．23.9×107 b．2.39×108 c．2.39×109 d．0.239×1094．（3分）下列计算正确的是（　　）a．a4 a4＝a8 b．a4•a4＝a16 c．（a4）4＝a16 d．a8÷a4＝a25．（3分）4月15日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（　　）a．1500名师生的国家安全知识掌握情况 b．150 c．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况 d．从中抽取的150名师生6．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的度数为（　　）a．32° b．58° c．68° d．78°7．（3分）均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　）a． b． c． d．8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（　　）a． b． c． d．9．（3分）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（　　）a． b． c． d．10．（3分）如图，要测量一条河两岸相对的两点a，b之间的距离，我们可以在岸边取点c和d，使点b，c，d共线且直线bd与ab垂直，测得∠acb＝56.3°，∠adb＝45°，cd＝10m，则ab的长约为（　　）（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）a．15m b．30m c．35m d．40m11．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　）a． b． c． d．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点a，b在反比例函数的图象上．点a的坐标为（m，2）．连接oa，ob，ab．若oa＝ab，∠oab＝90°，则k的值为（　　）a． b． c． d．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）13．（2分）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作 5元，那么支出5元记作 　 　元．14．（2分）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．15．（2分）因式分解：4x2﹣4x 1＝　 　．16．（2分）如图，在⊙o中，ab为直径，c为圆上一点，∠bac的角平分线与⊙o交于点d，若∠adc＝20°，则∠bad＝　 　°．17．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 　 　．18．（2分）如图，矩形abcd中，对角线ac，bd相交于点o，ad＝2，cd＝4，ah是∠bac的平分线，ce⊥ah于点e，点p是直线ab上的一个动点，则op pe的最小值是 　 　．三、解答题（本大题共8小题，共72分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：2×（﹣5 3）﹣42÷（﹣8）．20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．21．（10分）如图，△abc中，∠b＝2∠c．（1）请完成尺规作图：过点a作ad⊥bc，垂足为d．（要求：不写作法，保留作图痕迹．）（2）在（1）的基础上，求证：dc＝ab bd．22．（10分）小手拉大手，共创文明城．某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下：90 82 99 86 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 100 96 92 100整理数据： 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 3 4 a 8分析数据： 平均分 中位数 众数 92 b c根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表格中a，b，c的值；（2）该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？（3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．23．（10分）如图，平行四边形abcd中，点e是对角线ac上一点，连接be，de，且be＝de．（1）求证：四边形abcd是菱形；（2）若ab＝10，tan∠bac＝2，求四边形abcd的面积．24．（10分）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以ab为直径的半圆o，mn为台面截线，半圆o与mn相切于点p，连结op与cd相交于点e．水面截线，mn∥cd，ab＝12cm．（1）如图（1）求水深ep；（2）将图（1）中的老碗先沿台面mn向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得a、c重合，求此时最高点b和最低点p之间的距离bp的长；（3）将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时∠bop＝75°，求滚动过程中圆心o运动的路径长．25．（10分）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速每秒减少a（m/s），该型号汽车刹车时速度为v0（m/s），刹车后速度v（m/s）、行驶的距离为s（m）与时间t（s）之间的关系如表： t … 1 1.5 2 2.5 … v … 15 12.5 10 7.5 … s … 17.5 24.375 30 34.375 …（1）求v与t的函数关系式；（2）s与t满足函数关系式s＝pt2 qt，求该汽车刹车后行驶的最大距离；（3）普通司机在遇到紧急情况时，从发现情况到刹车的反应时间是b（s），0.5≤b≤0.8，一个普通司机驾驶该型汽车以v0（m/s）的速度行驶，突然发现导航提示前面60m处路面变窄，需要将车速降低到5m/s以下安全通过，司机紧急刹车，能否在到达窄路时将车速降低到5m/s以下？请通过计算说明．26．（10分）【问题原型】如图①，△acb与△dce均为等腰直角三角形，∠acb＝∠dce＝90°，连结ad、be．求证：∠dac＝∠ebc．【问题延伸】如图②，rt△acb∽rt△dce，∠acb＝∠dce＝90°，连结ad、be．试问∠dac与∠ebc的大小有怎样的关系？请说明理由．【问题应用】如图3，rt△acb∽rt△dce，∠acb＝∠dce＝90°，ac＝4，bc＝3．点e在边ab上，且be＝1，连结ad，则线段de的长为 　 　．2024年广西大学附中中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（车大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）1．（3分）下列各数中，最小的数是（　　）a．﹣2 b．0 c． d．2【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．【解答】解：正数大于零，零大于负数，得﹣2＜0＜＜2，故选：a．【点评】本题考查了有理数比较大小，正数大于零，零大于负数．2．（3分）下列几何体中，三个视图完全相同的是（　　）a． b． c． d．【分析】分别结合图形得出三视图，再进行比较，即可作答．【解答】解：a、该图形的左视图和主视图是一样的长方形，但俯视图是正方形，故该选项是不符合题意的；b、该图形的左视图和主视图是一样的三角形，但俯视图是有圆心的圆，故该选项是不符合题意的；c、该图形的左视图和主视图是一样的长方形，但俯视图是无圆心的圆，故该选项是不符合题意的；d、该图形的左视图和主视图、俯视图是一样的圆，故该选项是符合题意的；故选：d．【点评】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的特征是关键．3．（3分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（　　）a．23.9×107 b．2.39×108 c．2.39×109 d．0.239×109【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：239000000＝2.39×108，故选：b．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．4．（3分）下列计算正确的是（　　）a．a4 a4＝a8 b．a4•a4＝a16 c．（a4）4＝a16 d．a8÷a4＝a2【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而判断即可．【解答】解：a．a4 a4＝2a4，故此选项不合题意；b．a4•a4＝a8，故此选项不合题意；c．（a4）4＝a16，故此选项符合题意；d．a8÷a4＝a4，故此选项不合题意．故选：c．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）4月15日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（　　）a．1500名师生的国家安全知识掌握情况 b．150 c．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况 d．从中抽取的150名师生【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断．【解答】解：样本是所抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况．故选：c．【点评】本题考查了样本的定义，熟练掌握样本的定义是解答本题的关键．6．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的度数为（　　）a．32° b．58° c．68° d．78°【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵水面和杯底互相平行，∴∠1 ∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的两条光线平行，∴∠2＝∠3＝58°．故选：b．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．7．（3分）均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　）a． b． c． d．【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．故选：d．【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（　　）a． b． c． d．【分析】根据“乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：依题意，得．故选：d．【点评】本题考查了数学常识，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．（3分）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（　　）a． b． c． d．【分析】四张形状相同的小图片分别用a、a、b、b表示，其中a和a合成一张完整图片，b和b合成一张完整图片，用列表法或画树状图法可展示所有12种等可能的结果，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解即可．【解答】解：四张形状相同的小图片分别用a、a、b、b表示，其中a和a合成一张完整图片，b和b合成一张完整图片，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4，所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率＝．故选：b．【点评】本题考查列表法与树状图法：掌握列表法或画树状图求等可能事件概率的方法是解题的关键．10．（3分）如图，要测量一条河两岸相对的两点a，b之间的距离，我们可以在岸边取点c和d，使点b，c，d共线且直线bd与ab垂直，测得∠acb＝56.3°，∠adb＝45°，cd＝10m，则ab的长约为（　　）（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）a．15m b．30m c．35m d．40m【分析】设ab＝x m，在rt△abd中由∠adb＝45°知ab＝bd＝x m，在rt△abc中由tan∠acb＝知bc＝≈x，根据bc cd＝bd建立关于x的方程，解之可得答案．【解答】解：设ab＝x m，在rt△abd中，∵∠adb＝45°，∴ab＝bd＝x m，在rt△abc中，∵∠acb＝56.3°，且tan∠acb＝，∴bc＝＝≈x，由bc cd＝bd得x 10＝x，解得x＝30，∴ab的长约为30m，故选：b．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据正切函数的定义表示出bd、cd的长度，并建立关于x的方程．11．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　）a． b． c． d．【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：．故选：a．【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点a，b在反比例函数的图象上．点a的坐标为（m，2）．连接oa，ob，ab．若oa＝ab，∠oab＝90°，则k的值为（　　）a． b． c． d．【分析】构造全等三角形推出点b的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出a的坐标，【解答】解：过点a作x轴的平行线交y轴于点m，过点b作y轴的平行线交ma的延长线于点n．∵∠moa ∠mao＝90°，∠nab ∠mao＝90°∴∠moa＝∠nab，∵∠amo＝∠anb＝90°，ao＝ab．∴△amo≌△bna（aas），∴am＝nb＝m，mo＝an＝2．∴a（m，2），b（m 2，2﹣m），∵点a、b都在反比例函数上，∴2m＝（m 2）（2﹣m），解得：m1＝﹣1 ，m2＝﹣1﹣（舍去），∴点a的坐标为（﹣1 ，2），∴k＝xy＝2（﹣1）＝2﹣2．故选：d．【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，构造一线三垂直出现全等三角形是本题的突破口．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）13．（2分）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作 5元，那么支出5元记作 　﹣5　元．【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．【解答】解：收入5元记作 5元，那么支出5元记作﹣5元，故答案为：﹣5．【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．14．（2分）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≤1　．【分析】根据被开方数是非负数求解即可．【解答】解：由题可知，1﹣x≥0，解得x≤1．故答案为：x≤1．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，形如 的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．15．（2分）因式分解：4x2﹣4x 1＝　（2x﹣1）2　．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：4x2﹣4x 1＝（2x﹣1）2．故答案为：（2x﹣1）2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．16．（2分）如图，在⊙o中，ab为直径，c为圆上一点，∠bac的角平分线与⊙o交于点d，若∠adc＝20°，则∠bad＝　35　°．【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠acb＝90°，再利用圆周角定理可得∠adc＝∠abc＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠bac＝70°，从而利用角平分线的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵ab为⊙o的直径，∴∠acb＝90°，∵∠adc＝20°，∴∠adc＝∠abc＝20°，∴∠bac＝90°﹣∠abc＝70°，∵ad平分∠bac，∴∠bad＝∠bac＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．17．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 　　．【分析】根据根的判别式与一元二次方程解的关系即可求出答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x m＝0有两个相等的实数根，∴δ＝（﹣3）2﹣4m＝0，解得m＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方有两个相等的实数根，根的判别式等于0是解决问题的关键．18．（2分）如图，矩形abcd中，对角线ac，bd相交于点o，ad＝2，cd＝4，ah是∠bac的平分线，ce⊥ah于点e，点p是直线ab上的一个动点，则op pe的最小值是 　　．【分析】找到点o关于ab的对称点n，连接en，en长就是所求最值，利用角平分线和直角三角形斜边中线推出oe∥ab可得oen是直角三角形，勾股定理求出en即可．【解答】解：找到点o关于ab的对称点n，连接en，交ab于点p，则po pe＝pe pn＝en，en的长就是最小值．∵ce⊥ah，ao＝oc，∴oe＝oa．∴∠oae＝∠oea，∵am是∠bac的平分线，∴∠oea＝∠eab，∴oe∥ab，∵on⊥ab，∴∠eon＝90°，即△oen是rt△，∵ad＝2，∴on＝2，oe＝oa＝ac＝，∴en＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了轴对称最值问题，证明出△oen直角三角形是本题关键．三、解答题（本大题共8小题，共72分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：2×（﹣5 3）﹣42÷（﹣8）．【分析】先算括号内的式子和乘方，再算括号外的乘除法，然后算减法即可．【解答】解：2×（﹣5 3）﹣42÷（﹣8）＝2×（﹣2）﹣16÷（﹣8）＝﹣4 2＝﹣2．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当 时，原式＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（10分）如图，△abc中，∠b＝2∠c．（1）请完成尺规作图：过点a作ad⊥bc，垂足为d．（要求：不写作法，保留作图痕迹．）（2）在（1）的基础上，求证：dc＝ab bd．【分析】（1）利用基本作图，过a点作bc的垂线即可；（2）在dc上截取de＝bd，连接ae，则ad垂直平分be，所以ae＝ab，则∠aeb＝∠b，接着证明∠c＝∠eac得到ae＝ce，然后利用等线段代换得到cd＝ab bd．【解答】（1）解：如图，ad为所作；（2）证明：在dc上截取de＝bd，连接ae，∵ad⊥be，db＝de，即ad垂直平分be，∴ae＝ab，∴∠aeb＝∠b，∵∠aeb＝∠c ∠eac，∠b＝2∠c，∴∠c＝∠eac，∴ae＝ce，∴cd＝ce de＝ae bd＝ab bd．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．22．（10分）小手拉大手，共创文明城．某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下：90 82 99 86 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 100 96 92 100整理数据： 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 3 4 a 8分析数据： 平均分 中位数 众数 92 b c根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表格中a，b，c的值；（2）该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？（3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．【分析】（1）将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的概念求解可得；（2）用总人数乘以样本中不低于90分的人数占被调查人数的比例即可得；（3）从众数和中位数的意义求解可得．【解答】解：（1）将这组数据重新排列为：81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100，∴a＝5，b＝＝91，c＝100；（2）估计成绩不低于90分的人数是1600×＝1040（人）；（3）中位数，在被调查的20名家长中，中位数为91分，有一半的人分数都是在91分以上．【点评】考查中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．23．（10分）如图，平行四边形abcd中，点e是对角线ac上一点，连接be，de，且be＝de．（1）求证：四边形abcd是菱形；（2）若ab＝10，tan∠bac＝2，求四边形abcd的面积．【分析】（1）连接bd交ac于o，根据平行四边形的性质得到bo＝od，根据全等三角形的判定和性质和菱形的判定即可得到结论；（2）解直角三角形得到ao＝2，bo＝4，根据菱形的性质得到ac＝2ao＝4，bd＝2bo＝8，根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）方法一：证明：连接bd交ac于o，∵四边形abcd是平行四边形，∴bo＝od，在△boe与△doe中，∴△boe≌△doe（sss），∴∠doe＝∠boe，∵∠doe ∠boe＝180°，∴∠doe＝90°，∴ac⊥bd，∴四边形abcd是菱形；方法二：证明：连接bd交ac于o，∵四边形abcd是平行四边形，∴bo＝od，在△boe与△doe中，∴△boe≌△doe（sss），∴∠beo＝∠deo，在△bae与△dae中，，∴△bae≌△dae（sas），∴ab＝ad，∴四边形abcd是菱形；（2）解：在rt△abo中，∵tan∠bac＝＝2，∴设ao＝x，bo＝2x，∴ab＝＝x＝10，∴x＝2，∴ao＝2，bo＝4，∵四边形abcd是菱形，∴ac＝2ao＝4，bd＝2bo＝8，∴四边形abcd的面积＝ac•bd＝＝80．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．24．（10分）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以ab为直径的半圆o，mn为台面截线，半圆o与mn相切于点p，连结op与cd相交于点e．水面截线，mn∥cd，ab＝12cm．（1）如图（1）求水深ep；（2）将图（1）中的老碗先沿台面mn向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得a、c重合，求此时最高点b和最低点p之间的距离bp的长；（3）将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时∠bop＝75°，求滚动过程中圆心o运动的路径长．【分析】（1）连接oc，由切线的性质及垂径定理得出ce的长，由勾股定理求出oe的长，则可得出答案；（2）过b点作ad的平行线，与po的延长线相交于点f．证明△aoe≌△bof（asa），得出oe＝of，由勾股定理得出答案；（3）由弧长公式可得出答案．【解答】解：（1）连接oc，∵半圆o与mn相切于点p，∴op⊥cd，∵，∴，在rt△oce中，由勾股定理，可得，∴ep＝op﹣oe＝6﹣3＝3cm；（2）过b点作ad的平行线，与po的延长线相交于点f．∵ad∥bf，∴∠oae＝∠obf，在△aoe和△bof中，∴△aoe≌△bof（asa），∴oe＝of，由（1）可得oe＝3cm，，∴oe＝of＝3cm，．由勾股定理可得，；（3）由（1）可知oe＝3cm，oc＝6cm，在rt△coe中，∠coe＝60°，∵∠bop＝75°，∴∠aoc＝45°，由题意可得圆心o运动的路径长为＝．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，弧长公式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．25．（10分）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速每秒减少a（m/s），该型号汽车刹车时速度为v0（m/s），刹车后速度v（m/s）、行驶的距离为s（m）与时间t（s）之间的关系如表： t … 1 1.5 2 2.5 … v … 15 12.5 10 7.5 … s … 17.5 24.375 30 34.375 …（1）求v与t的函数关系式；（2）s与t满足函数关系式s＝pt2 qt，求该汽车刹车后行驶的最大距离；（3）普通司机在遇到紧急情况时，从发现情况到刹车的反应时间是b（s），0.5≤b≤0.8，一个普通司机驾驶该型汽车以v0（m/s）的速度行驶，突然发现导航提示前面60m处路面变窄，需要将车速降低到5m/s以下安全通过，司机紧急刹车，能否在到达窄路时将车速降低到5m/s以下？请通过计算说明．【分析】（1）当t增加0.5时，v减少2.5，那么v与t符合一次函数解析式，设出一次函数解析式，把表格中关于t和v的任意两对数代入可得k和b的值，即可求得v与t的函数关系式；（2）把表格中的关于t和s的任意两对数代入s＝pt2 qt可得p和q的值，即可求得s与t的函数关系式，进而可得该汽车刹车后行驶的最大距离；（3）把v＝5代入（1）得到的函数解析式可得刹车后到达5m/s的时间，进而把所得时间代入（2）得到的函数解析式，可得刹车到5m/s时汽车行驶的距离，加上司机反应后行驶的路程，与60m比较可得能否在到达窄路时将车速降低到5m/s以下．【解答】解：（1）设v＝kt b（k≠0）．∵经过点（1，15），（2，10）．∴．解得：．∴v与t的函数关系式为：v＝﹣5t 20；（2）∵s＝pt2 qt，函数经过点（1，17.5），（2，30）．∴．解得：．∴s＝﹣2.5t2 20t．∵﹣2.5＜0，∴s最大＝＝40．答：该汽车刹车后行驶的最大距离为40米；（3）∵需要将车速降低到5m/s以下，∴当v＝5m/s时，5＝﹣5t 20．解得：t＝3．∴s＝﹣2.5×32 20×3＝37.5（m）．由题意得：v0＝20，0.5≤b≤0.8，∴反应后汽车行驶的路程s的取值范围为：10≤s≤16．∴在到达窄路前汽车行驶的路程s的取值范围为：47.5≤s≤53.5．∴汽车行驶的最大距离为53.5m．∵53.5＜60，∴司机紧急刹车，能在到达窄路时将车速降低到5m/s以下．【点评】本题考查二次函数的应用．根据v与t的变化规律判断出相应的函数关系是解决本题的关键．难点是得到司机反应并刹车减速后到达窄路前需要行驶的路程．26．（10分）【问题原型】如图①，△acb与△dce均为等腰直角三角形，∠acb＝∠dce＝90°，连结ad、be．求证：∠dac＝∠ebc．【问题延伸】如图②，rt△acb∽rt△dce，∠acb＝∠dce＝90°，连结ad、be．试问∠dac与∠ebc的大小有怎样的关系？请说明理由．【问题应用】如图3，rt△acb∽rt△dce，∠acb＝∠dce＝90°，ac＝4，bc＝3．点e在边ab上，且be＝1，连结ad，则线段de的长为 　　．【分析】【问题原型】证明△acd≌△bce（sas）即可得∠dac＝∠ebc；【问题延伸】由rt△acb∽rt△dce，∠acb＝∠dce＝90°，可证明△acd∽△bce（sas），故∠dac＝∠ebc；【问题应用】证明△acd∽△bce（sas），可得＝，即ad＝，而ab＝＝5，ae＝ab﹣be＝4，由∠ebc ∠cab＝90°，可得∠dae＝90°，故de＝＝．【解答】【问题原型】证明：∵△acb与△dce均为等腰直角三角形，∠acb＝∠dce＝90°，∴ac＝bc，dc＝ec，∠acb﹣∠ace＝∠dce﹣∠ace，即∠bce＝∠acd，在△acd和△bce中，，∴△acd≌△bce（sas），∴∠dac＝∠ebc；【问题延伸】解：∠dac＝∠ebc，理由如下：∵rt△acb∽rt△dce，∠acb＝∠dce＝90°，∴＝，∠acb﹣∠ace＝∠dce﹣∠ace，即∠bce＝∠acd，∴△acd∽△bce（sas），∴∠dac＝∠ebc；【问题应用】解：∵rt△acb∽rt△dce，∠acb＝∠dce＝90°，∴＝，∠acb﹣∠ace＝∠dce﹣∠ace，即∠bce＝∠acd，∴△acd∽△bce（sas），∴＝，∠dac＝∠ebc，∵ac＝4，bc＝3，be＝1，∴＝，即ad＝，ab＝＝5，∴ae＝ab﹣be＝5﹣1＝4，∵∠ebc ∠cab＝90°，∴∠dac ∠cab＝90°，即∠dae＝90°，∴de＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．第1页（共1页）学科网（北京）股份有限公司$$