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2024年云学名校联盟高二年级5月联考数学试题b卷命题学校：黄冈中学 命题人：胡小琴 郑齐爱审题人：襄阳五中 曹标平 咸宁高中 陈小燕考试时间：2024年5月20日14：30-16：30时长：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 计算的值为（ ）．a. 1 b. 0 c. 20 d. 212. 已知等差数列，等比数列，满足，，则（ ）．a. b. c. 2 d. 43. 已知函数，则（ ）．a 2 b. 1 c. 0 d. 4. 设随机变量的分布列为，则的值为（ ）a. b. c. d. 5. 的展开式中含项的系数为（ ）．a. b. c. 50 d. 106. 设某批产品中，由甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占，，，已知甲、乙车间生产的产品的次品率分别为，.现从该批产品中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为（ ）a. b. c. d. 7. 在数学中，自然常数．小布打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到密码．如果排列时要求8不排最后一个，两个2相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（ ）．a. 30 b. 32 c. 36 d. 488. 已知函数，对任意，，且，都有成立，则实数a取值范围是（ ）．a. b. c. d. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.9. 已知是等比数列，是其前n项和，，下列说法中正确的是（ ）.a. 若是正项数列，则是单调递增数列b. ，，一定是等比数列c. 若存在，使对都成立，则是等差数列d. 若对任意，总存在使成立，则可能是单调递减数列10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件a为“恰有两名同学所报项目相同”，事件b为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）．a. 四名同学的报名情况共有64种b. “每个项目都有人报名”报名情况共有36种c. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是d. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）．a. 若在r上单调递增，则b. 若，则过点能作两条直线与曲线相切c. 若有两个极值点，，且，则a的取值范围为d. 若，且的解集为，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量，且期望，则方差__________．13. 若定义域都为r的函数及其导函数，满足对任意实数x都有，则__________．14. 各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为__________（请用数字作答）．四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知一个袋内有4只不同的红球，5只不同的白球．（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，现从袋中任取5只球，且两种颜色的球都要取到，使总分不小于8分的取法有多少种？（用数字作答）（2）在条件（1）下，当总分为8分时，先取球再将取出球随机排成一排，求红球互不相邻的不同排法有多少种？（用数字作答）16. 在的展开式中，前3项的系数的绝对值成等差数列．（1）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；（2）求展开式中所有有理项．17. 某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，（1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；（2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有x人可以在2小时内完成各科作业，求x的分布列和数学期望；（3）从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系.18. 已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列．（1）求数列和的通项公式；（2）若，数列的前n项和，满足对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．19. 已知函数，其导函数为．（1）求函数的极值点；（2）若直线是曲线的切线，求的最小值；（3）证明：．第1页/共1页学科网（北京）股份有限公司$$ 2024年云学名校联盟高二年级5月联考数学试题b卷命题学校：黄冈中学 命题人：胡小琴 郑齐爱审题人：襄阳五中 曹标平 咸宁高中 陈小燕考试时间：2024年5月20日14：30-16：30时长：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 计算的值为（ ）．a 1 b. 0 c. 20 d. 21【答案】d【解析】【分析】结合公式，进行求解．【详解】计算得．故选：d．2. 已知等差数列，等比数列，满足，，则（ ）．a. b. c. 2 d. 4【答案】b【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的性质计算即可得出结果.【详解】数列是等差数列，，可得，即，数列是等比数列，，可得，可得，则．故选：b．3. 已知函数，则（ ）．a. 2 b. 1 c. 0 d. 【答案】a【解析】【分析】由题意先求出，所以，对原函数求导，求解出即可.【详解】由题意得，且，从而.故选：a.4. 设随机变量的分布列为，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，随机变量对应事件的概率之和等于1求解.【详解】由题意得：，解得：.故选：c.5. 的展开式中含项的系数为（ ）．a. b. c. 50 d. 10【答案】d【解析】【分析】求出二项式展开式的通项，再分析指数情况求出含项的系数.【详解】的展开式通项为，令，3，得的展开式中含项的系数为．故选：d6. 设某批产品中，由甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占，，，已知甲、乙车间生产的产品的次品率分别为，.现从该批产品中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】设事件表示取到的是次品，，，表示取到的产品是甲、乙、丙三个车间生产的，由全概率公式求.【详解】设事件表示取到的是次品，，，表示取到的产品是甲、乙、丙三个车间生产的，则，，,,，.由全概率公式：.即，.故选：a7. 在数学中，自然常数．小布打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到密码．如果排列时要求8不排最后一个，两个2相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（ ）．a. 30 b. 32 c. 36 d. 48【答案】c【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论：①排在最后一位；②不排在最后一位 ，由加法计数原理计算即可.【详解】根据题意，分两种情况：①2排在最后一位，则倒数第二位也是2，再从剩下4个位置选出2个，安排两个8，最后安排7和1，此时有个不同的密码；②2不排在最后一位，则倒数第一位安排7或1，将两个2看成一个整体，与两个8和7或1中剩下的数排列，此时有个不同的密码；则一共有个不同的密码．故选：c．8. 已知函数，对任意，，且，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）．a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据已知条件构造新函数，再由函数的单调性，求出a的取值范围.【详解】当时，易知函数在上是增函数，不妨设，则．由，所以．所以，即．设，则在区间上是减函数．所以在时恒成立，因为，所以在时恒成立，即在时恒成立，即．而在区间上是增函数，所以的最大值为，所以，又，所以．故选：b.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.9. 已知是等比数列，是其前n项和，，下列说法中正确的是（ ）.a. 若是正项数列，则是单调递增数列b. ，，一定是等比数列c. 若存在，使对都成立，则是等差数列d. 若对任意，总存在使成立，则可能单调递减数列【答案】acd【解析】【分析】先根据条件求出公比，结合选项逐个判断即可.【详解】设公比为，因为，所以，解得或；对于a，因为是正项数列，所以，，所以，即是单调递增数列，a正确；对于b，举反例当，n为偶数，，，为零的常数列， b不正确；对于c，显然不满足，而(摆动数列)满足要求，此时是等差数列，c正确；对于d，由题设，满足要求，此时是单调递减数列，且是单调递增数列，所以对任意，总存在使成立，故d正确.故选：acd.10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件a为“恰有两名同学所报项目相同”，事件b为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）．a. 四名同学的报名情况共有64种b. “每个项目都有人报名”的报名情况共有36种c. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是d. 【答案】bcd【解析】【分析】a选项，根据分步乘法计数原理得到a错误；b选项，将四名志愿者分为2，1，1三组，由分步乘法计数原理得到共有36种；c选项，分两种情况，有3人报名了1个项目，另外1人报名了1个和每2个人报名了1个项目，分别计算出项目数，相加得到答案；d选项，先计算出和，利用条件概率求解公式得到答案.【详解】对于a，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，a错误；对于b，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，b正确；对于c，四名同学最终只报了两个项目，若有3人报名了1个项目，另外1人报名了1个项目，此时有种情况，若每2个人报名了1个项目，此时有种情况，综上，共有种情况，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，c正确；对于d，事件a：先从4名同学选出2人，组成一组，再进行全排列，故，事件：甲同学1人报名‘关怀老人’项目，剩余3人分为2组，和剩余的2个项目进行全排列，故，所以，d正确．故选：bcd．11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）．a. 若在r上单调递增，则b. 若，则过点能作两条直线与曲线相切c. 若有两个极值点，，且，则a的取值范围为d. 若，且的解集为，则【答案】ac【解析】【分析】a.由导数和单调性的关系，转化为恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解；b.首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程，转化为关于切点的方程有2个实数根，利用导数以及零点存在性定理，即可判断；c.转化为导函数有2个零点，利用数形结合，即可求解；d.首先求解不等式，再将转化为关于的式子，即可求解.【详解】对于a，对求导得：，因为函数在r上单调递增，所以恒成立，即恒成立，记，则，因为，当时，，即函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因此，函数在处取得最大值，所以，即，故选项a正确；对于b，时，，，设图象上一点，则，故过点的切线方程为，将代入上式得，整理得，构造函数，则，构造函数，则，令得，令得，所以函数上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以函数单调递增，又，，即方程在区间仅有一解，从而在r上也仅有一解，所以过点只能作一条直线与曲线相切，b选项错误；对于c，因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，，即方程有两个解为，，记，因为，当时，，即函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因此，函数处取得最大值，方程有两个解为，等价于与图像有两个不同公共点，所以，所以，c选项正确；对于d，由，得，等价于，即，当时，，，又，故，所以，当时，，无解，故的解集为，此时，当时，，，从而d错误．故选：ac．【点睛】关键点点睛：本题前3个选项都是利用导数解决函数问题，尤其是bc选项，属于函数零点问题，b选项转化为判断零点各数，c选项是已知零点个数，求参数的取值范围.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量，且期望，则方差__________．【答案】2.1【解析】【分析】根据二项分布的期望公式求出，再根据二项分布的方差公式即可得解.【详解】因为随机变量，所以，解得，所以．故答案为：.13. 若定义域都为r的函数及其导函数，满足对任意实数x都有，则__________．【答案】2024【解析】【分析】对两边同时求导导数得，再利用赋值法与累加法即可得解.【详解】对，两边同时求导导数得，则，，，，从而．故答案为：202414. 各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为__________（请用数字作答）．【答案】56【解析】【分析】转化为隔板法，解决问题.【详解】设，，，对应个位到千位上的数字，则，且，相当于6个相同的球排成一排，每个球表示1，先拿一个球装入，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个球用3个隔板分成4组（各组不可为空），故共有种．故答案为：56．四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知一个袋内有4只不同的红球，5只不同的白球．（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，现从袋中任取5只球，且两种颜色的球都要取到，使总分不小于8分的取法有多少种？（用数字作答）（2）在条件（1）下，当总分为8分时，先取球再将取出的球随机排成一排，求红球互不相邻的不同排法有多少种？（用数字作答）【答案】（1）45 （2）480【解析】【分析】（1）设取出个红球个白球，依题意可确定或，再由组合数公式计算可得；（2）总分为分，则取的个数为红球个，白球个，先将球取出，再利用插空法排列，按照分步乘法计数原理计算可得.【小问1详解】设取出个红球个白球，依题意可得，因为，所以或， ∴符合题意的取法种数有种．【小问2详解】总分为分，则取的个数为红球个，白球个，将取出的球排成一排分两步完成，第一步先取球，共有种，第二步再排，先把个白球全排列，再将个红球插空，共有，根据分步乘法计数原理可得不同排法有种．16. 在的展开式中，前3项的系数的绝对值成等差数列．（1）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）, （2）；；【解析】【分析】（1）借助等差中项的性质与二项式展开式的通项公式计算可得，再借助二项式系数的增减性与赋值法即可得解；（2）借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【小问1详解】展开式的通项公式为， 因为前3项的系数绝对值成等差数列，且前三项系数为，，，所以，即，所以，（或舍去）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，即，令得，即展开式各项系数和为；【小问2详解】由，则，，，令，∴，4，8，即当、4、8时对应的项为有理项，所以所有有理项为：；；．17. 某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，（1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；（2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有x人可以在2小时内完成各科作业，求x的分布列和数学期望；（3）从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系.【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）所以，，．【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；（2）由题意可知x的所有取值，再利用古典概型的概率公式求出相应概率，进而得出分布列，再结合期望公式求解即可；（3）由题意可知，，再结合二项分布的数学期望求解.【小问1详解】设“从该校高二学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件a，所以．【小问2详解】因为样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，若从这7人中随机取3人，则x的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以x的分布列为： x 0 1 2 3 p 所以x的数学期望为．【小问3详解】由题意可知，，，所以，，所以．18. 已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列．（1）求数列和的通项公式；（2）若，数列的前n项和，满足对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），． （2）【解析】【分析】（1）根据条件得到，求出公比和公差，得到数列和的通项公式；（2）法1：利用错位相减法求和得到，变形得到，构造，作差得到，求出实数的取值范围；法2：裂项相消法得到，变形得到，构造，作差得到，求出实数的取值范围.【小问1详解】因为，20，既等差数列，又是等比数列，故，20，的公差为0，公比为1，所以．又，设公差为d、公比为，则，解得或（舍去），所以，．【小问2详解】法1：由（1）可得，所以，，所以，所以．因为对任意的，不等式恒成立，即对任意的，不等式恒成立，所以对任意的，不等式恒成立，令，则，所以，…， 从而对，，所以，即实数的取值范围为．法2:：，．因为对任意的，不等式恒成立，即对任意的，不等式恒成立，所以对任意的，不等式恒成立，令，则，所以，…， 从而对，，所以，即实数的取值范围为．【点睛】关键点点睛：数列单调性的思路，作差法判断数列的单调性或看作函数，利用导函数得到单调性，本题利用作差法得到数列的单调性.19. 已知函数，其导函数为．（1）求函数的极值点；（2）若直线是曲线的切线，求的最小值；（3）证明：．【答案】（1）函数的极小值点为，没有极大值点． （2）e （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，即可求得函数的极值点.（2）设切点，求出切线方程，求得，构造函数，利用导数求函数的单调性，从而求出的最小值.（3）利用（1）的结论令，，可得，利用累加法结合数列的裂项求和方法，即可证得结论.【小问1详解】定义域为，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以函数的极小值点为，没有极大值点．【小问2详解】令，则，，设切点为，则，，则切线方程为，即，又是曲线的切线方程，则，则， 令，，，，令，所以时，， 时，，在单调递减，在单调递增，所以，即的最小值为e．【小问3详解】证明：由（1）可知，在单调递减，单调递增，所以，则，因为，则，当时取等号，令，则，因为，所以， 又因为，所以，则，，…，，累加后可得，即．【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是根据不等式，得出，利用累加法和裂项相消法证得结论.第1页/共1页学科网（北京）股份有限公司$$